ALGÉBRA DE DESCARTES

El álgebra geométrica de Descartes

El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B:
descartes

Ideas Matematicas de Descartes

Los conocimientos de Descartes se pueden calificar de enciclopédicos dado que, además de las tres disciplinas antedichas, cultivó la óptica, química, música, mecánica, anatomía, embriología, medicina, astronomía y meteorología.

En matemáticas su obra capital fue La Géométrie, publicada en 1637 como apéndice de su famosoDiscurso del Método, en la que sentó las bases de la geometría analítica. Se cuenta que le surgió la idea de esta nueva geometría cuando, contemplando el movimiento de una mosca en el techo de su habitación, pensó que la trayectoria del insecto se podía describir en función de su distancia a las paredes adyacentes.

Con Descartes se inició la práctica actual de usar las últimas letras del alfabeto para las incógnitas y las primeras para los parámetros. Al mismo tiempo, el autor del Discurso del Método, acostumbró a igualar a cero el primer miembro de cualquier ecuación.

Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso, sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como muchos hasta entonces, x2 como xx.

En el libro primero de su Geometría, René Descartes presenta la resolución geométrica de algunas ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

6.1. Resolución geométrica de la ecuación z2 = az + b2

El texto de Descartes
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texto de Descartes
texto de Descartes

La traducción

(…) Por ejemplo, si tengo z2 = az + b2 construyo el triángulo rectángulo NLM, cuyo lado LM es igual a b, raíz cuadrada de la cantidad conocida b2, y el otro lado LN es a/2, la mitad de la otra cantidad conocida, que multiplica a z, que es la línea desconocida. Entonces, prolongando MN, base de este triángulo, hasta O, de modo que NO sea igual a NL, la línea OM es z, la línea buscada, y se expresa de este modo:

ecuación

El comentario

En cuanto a la notación, observemos que el signo de igualdad utilizado por Descartes es distinto del actual y se parece al símbolo moderno para “infinito”. Notemos también que para representar potencias de exponente 2 suele hacer uso de la multiplicación indicada [aa = a2]. Por último, advirtamos que el matemático francés utiliza el término “base” para referirse a la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Respecto al procedimiento de resolución de la ecuación, Descartes sólo lo describe y no se detiene en su justificación. Dado el carácter divulgativo-didáctico de este trabajo, creemos conveniente incluir aquí una fundamentación del método que se apoya en la proposición 36 del libro III de los Elementos de Euclides:

Si desde un punto exterior a un círculo se trazan dos rectas, una de las cuales lo corta y la otra sólo lo toca, entonces el rectángulo comprendido por toda la recta secante y su parte exterior entre el punto y la periferia convexa del círculo es equivalente al cuadrado de la tangente.
figura

Si en la figura presentada por Descartes aplicamos la proposición anterior se tiene que:

MO · MP = LM2

Entonces, si comparamos esta igualdad con la ecuación que se quiere resolver [z(z – a) = b2] resulta que:

LM = b
MO = z
MP = z – a

Por tanto, la resolución gráfica propuesta por Descartes es correcta.

Además:

OP = OM – MP = z – (z – a) = a => ON = NP = NL = a/2

De donde:

6.2. Resolución geométrica de la ecuación y2 = -ay + b2

El texto de Descartes

texto de Descartes

La traducción

Si se tiene y2 = -ay + b2, donde y es la cantidad que se quiere encontrar, construyo el mismo triángulo rectángulo NLM y de la base MN quito NP igual a NL, y lo que sobra PM es y, la raíz buscada. Así, se tiene que:

ecuación

Y del mismo modo, si se tiene x4 = -ax2 + b2 entonces PM será x2 y se tendrá que:

ecuación

y así para otros casos.

El comentario

La justificación del método presentado por Descartes también se apoya en la proposición 36 del libro III de los Elementos de Euclides.

figura

Si en la figura del texto aplicamos dicha proposición se tiene que:

MO · MP = LM2

Entonces, si comparamos esta igualdad con la ecuación que se quiere resolver [y(y + a) = b2] resulta que:

LM = b
MP = y
MO = y + a

Por tanto, la resolución gráfica propuesta por Descartes era correcta.

Además:

OP = OM – MP = (y + a) – y = a => ON = NP = NL = a/2

De donde:

ecuación

6.3. Resolución geométrica de la ecuación z2 = az – b2

El texto de Descartes

texto de Descartes

La traducción

Si tenemos z2 = az – b2, hago NL igual a a/2 y LM igual a b como antes. Después, en lugar de unir los puntos M y N, dibujo MQR paralela a LN, y con N como centro describo un círculo que pasa por L y corta a MQR en los puntos Q y R . La línea buscada z es MQ o MR , dado que en este caso se puede expresar de dos formas diferentes, a saber:

ecuaciones

Y si el círculo cuyo centro es N y pasa por L no corta ni toca a la recta MQR , entonces la ecuación carece de raíces, de modo que se puede decir que la construcción del problema propuesto es imposible.

El comentario

La justificación de la resolución gráfica propuesta por Descartes se apoya en conceptos básicos de geometría elemental.

En efecto:

figura

En la figura anterior LM = b y NL = NS = a/2. Además, el triángulo SQL es rectángulo al estar inscrito en una semicircunferencia. Por tanto, en virtud del teorema de la altura relativa a la hipotenusa, el segmento QP = LM = b es medio proporcional entre los segmentos LP = MQ y PS = MR.

Es decir:

b2 = MQ · MR

Si comparamos esta expresión con la ecuación de segundo grado que se quiere resolver [z(a – z) = b2] resulta que:

a) MQ = z y MR = PS = a – z
b) MQ = a – z y MR = PS = z

En consecuencia, el procedimiento de Descartes es válido.

FUENTE: documento escrito por Vicente Meavilla Seguí (Universidad de Zaragoza)